wiki @ Tuxware.cz

Metrické vlastnosti v prostoru(Edit)

• odchylky a vzdálenosti bodů, přímek a rovin v prostoru
• odchylka přímek v prostoru, kolmost přímek
  • V1: Každým bodem v prostoru leze vést právě jednu rovnoběžku s danou přímkou.
  • V2: Nechť p₁ a q₁ jsou různoběžky a p₂ a q₂ jsou rovněž různoběžky takové, že p₁ ∥ p₂ a q₁ ∥ q₂. Pak pro odchylky |∢ p₁, q₁| a |∢ p₂, q₂| platí |∢ p₁, q₁| = |∢ p₂, q₂|.
  • Odchylkou mimoběžných přímek p a q nazýváme odchylku různoběžných přímek p' a q' vedených libovolným bodem prostoru tak, že p' ∥ p a q' ∥ q. Píšeme α = |∢ p, q| = |∢ p', q'|, příčemž α ∈ (0, π/2>
  • Přímky jsou kolmé, jestliže je jejich odchylka rovna π/2. Píšeme p ⊥ q (nebo naopak).
• kolmost přímky a roviny
  • Přímka p a rovina ρ jsou vzájemně kolmé, jestliže je přímka p kolmá ke každé přímce roviny ρ.
  • Průsečík P přímky p ⊥ ρ s rovinou ρ se nazývá pata kolmice p.
  • V3 (aneb kritérium kolmosti přímky a roviny): Je-li přímka p kolmá ke dvěma různoběžným přímkám a, b roviny ρ, pak je kolmá k této rovině.
  • V4: Daným bodem lze vést k dané rovině právě jednu kolmici.
  • V5: Všechny kolmice k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné.
  • V6: Daným bodem lze k dané přímce vést právě jednu kolmou rovinu.
  • V7: Všechny roviny kolmé k téže přímce jsou navzájem rovnoběžné.
  • Rovina ρ procházející středem dané úsečky a kolmá k přímce, na níž úsečka leží, se nazývá rovina souměrnosti úsečky.
• vzdálenosti bodů, přímek a rovin
  • Vzdálenost bodu M od přímky p v prostoru definujeme jako vzdálenost bodu M od bodu P, který je průsečíkem přímky p a k ní kolmé roviny τ vedené bodem M, případně jako vzdálenost bodu M od přímky P v rovině jimi určené.
    • v(M, p); v = |MP|
  • Vzdálenost dvou rovnoběžek v prostoru je rovna jejich vzdálenosti v rovině jimi určené.
  • Vzdálenost dvou mimoběžek je rovna vzdálenosti průsečíků na příčce kolmé k oběma mimoběžkám.
  • Vzdálenost bodu od roviny je rovna vzdálenosti bodu a paty kolmice vedené bodem k rovině.
  • Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdáleností libovolného bodu na přímce od roviny.
  • Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin (tzv. výška/šířka/tloušťka vrstvy) je vzdáleností libovolného bodu roviny jedné od roviny druhé.
• odchylka dvou rovin
  • Odchylka dvou rovin je rovna odchylce průsečnic těchto rovin s libovolnou další rovinou kolmou k oběma rovinám.
  • V8: Odchylka dvou rovin je rovna odchylce dvojice přímek, z níž je každá kolmicí k jedné rovině.
• kolmost dvou rovin
  • Roviny jsou kolmé, jestliže je jejich odchylka rovna π/2. Píšeme ρ ⊥ σ (nebo naopak).
  • V9 (aneb kritérium kolmosti dvou rovin): Roviny ρ, σ jsou k sobě kolmé, jestliže jedna z nich je kolmá k některé přímce druhé roviny. Platí i věta obrácená.
  • V10: Jestliže dvě různoběžné roviny ρ, σ jsou kolmé k rovině τ, pak průsečnice rovin ρ, σ je kolmá k rovině τ.
  • V11: Nechť roviny ρ, σ jsou navzájem kolmé; jestliže přímka k leží v rovině ρ, a je kolmá k průsečnici rovin ρ, σ, pak je kolmá k rovině σ.
  • V12: Jestliže jsou přímka p a rovina ρ kolmé k rovině σ, pak jsou navzájem rovnoběžné.
  • V13: Jestliže mají přímka p a rovina ρ společný bod a jsou kolmé k rovině σ, pak přímka p leží v rovině ρ.
  • V14: Jestliže rovina ρ je rovnoběžná s přímkou p kolmou k rovině σ, pak jsou roviny ρ, σ navzájem kolmé.
• (rovnoběžné) pravoúhlé promítání
  • Pravoúhlým průmětem bodu do roviny je pata kolmice vedené bodem k rovině,
  • Množina pravoúhlých průmětů všech bodů útvaru je pravoúhlý průmět útvaru.
• odchylka přímky a roviny
  • Odchylkou přímky p a roviny ρ nazýváme odchylku přímky p a přímky q, která je průsečnicí roviny ρ s rovinou τ, která prochází přímkou p a je kolmá k rovině ρ.
    • Jestliže přímka p není kolmá k rovině ρ, pak je přímka q pravoúhlým průmětem přímky p do roviny ρ.
• pozn.: u úseček/polopřímek pracujeme s přímkami, na nichž úsečky/polopřímky leží.

Věty viz Polák kap. 9.12; příklady viz Petáková kap. 12 a příklady 101 až 139 od Richterkové.